零因子
51 の用例
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零因子問題とはこれ以外の方法で零因子が得られないかどうかを問うものである。
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ジャコブソン根基は直感的にはベキ零根基によく似ている。
悪いことの弱い、零因子であることより弱い、概念は、単位元でないことである。
環のジャコブソン根基は単に単位元でないというよりも強い性質を満たす元からなる。
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環が整域であるとはが可換環で、零因子を持たないことを言う。
さらに環が体 であるとは、零元でない元の全体が乗法に関してアーベル群を成すことを言う。
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この構成は、可換環に対して、その非零因子の「逆元」を付け加えて、より大きな環を作り出す操作になっている。
零因子を可逆化することはできないので、全商環はもうこれ以上逆元を加えて拡大することはできないものになっている。
このことから、全商環は「可能な限り逆元を付け加えた」という意味で最大の環である。
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実は任意の自由半群あるいはモノイドは簡約法則に従い、一般に群に埋め込まれる任意の半群やモノイドは簡約法則に従う。
別の例として、環の非零因子全体の乗法半群は簡約性質をもつ。
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ケイリー・ディクソン構成を使って得られるより高次の代数ではこの性質は成り立たない。
乗法的な絶対値を持つより広い数体系も存在するが、それらの絶対値はノルムとは別に定義されるもので、その体系は零因子をも含む。
実数体上のノルム多元体が R, C, H および O に限られることが証明できる。
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数学の特に環論と呼ばれる抽象代数学の一分野における整域あるいは域とは、右または左零因子を持たない環のことを言う。
しばしば自明でないことを仮定するが、域が乗法単位元を持つならば、この仮定は 1 ≠ 0 と同値であり、この場合の域は「左または右零因子を持たない非自明な環」のことになる。
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十六元数からケーリー＝ディクソンの構成法を元にして作られるどの超複素数系も零因子を含む。
単位十六元数の乗積表は次のようなものである。
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環が可換であれば左零因子と右零因子は同じである。
環の零因子でない元は正則であるまたは非零因子と呼ばれる。
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整数環 Z は零因子を持たない単位的可換環ゆえに整域である。
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このときさらに、積分演算子 l の逆元として微分演算子を考えたいとしても、畳み込みに関する単位元が存在しないため、このままではうまくいかない。
重要なことは、先ほどの非単位的かつ結合的な可換代数が畳み込み積に関する零因子を持たないことである。
これにより、代数学において一般に商体と呼ばれる構成を行うことができる。
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X が少なくとも 2 つの元をもてば、環はまた零因子をもつ。
I がイデアルであれば、 I=である。
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結合的多元体は零因子を持たない。
逆に有限次元の単位的結合多元環が多元環となる必要十分条件は、それが零因子を持たないことである。
A が体 F 上の単位的結合多元環で、S が A 上の単純加群ならば、S の自己準同型環は F 上の多元体であり、F 上の任意の結合多元体はこの方法で得られる。
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合成代数とは、乗法的二次形式を備えた単位的多元環である。
一般の合成代数は必ずしも可除ではなく、零因子を持ち得る。
実数体上であれば、ノルム多元体を成すもの以外に三種類、分解型複素数環、分解型四元数環、分解型八元数環が加わる。
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これは環における因子の特別な場合である。
左または右零因子である元は単に零因子と呼ばれる。
左かつ右零因子である元 a は両側零因子と呼ばれる。
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有限域は自動的に有限体になる。
零因子について位相幾何学的な解釈をすることができる。
環 R が可換整域となるための必要十分条件は、R が簡約環であり、かつそのスペクトル Spec R が既約位相空間となることである。
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左かつ右零因子である元 a は両側零因子と呼ばれる。
環が可換であれば左零因子と右零因子は同じである。
環の零因子でない元は正則であるまたは非零因子と呼ばれる。
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体は整域ゆえ、すでに述べたように極大イデアルは素イデアルである。
イデアルが素であること、あるいは剰余環を考えれば同じことだが環が零因子を持たないことを示すことは、一般に非常に難しい問題である。
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このことから、代数系は可換環を成すのみで、零因子が乗法逆元を持たないため体にはならない。
コンピュータなど計算機において多用される固定長の整数型の演算は、剰余類環における演算である。
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ここで整域は環として単位的であることは仮定しない。
商体の構成は、零因子を持たない任意の非自明な可換擬環という意味での整域に対して有効である。
R は零因子を持たない、少なくとも一つの非零元 e を持つ可換環という意味での整域とする。
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