球面調和函数
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この結果はより一般に、任意の境界付きコンパクトリーマン多様体上のラプラス=ベルトラム作用素について成り立ち、また実際に有界領域上滑らかな係数を持つ任意の楕円型作用素に対するディリクレ固有値問題についても正しい。が超球面であるときの、ラプラス作用素の固有函数は球面調和函数と呼ばれる。ラプラス作用素の概念は、リーマン多様体上で定義されたと呼ばれる楕円型作用素に一般化することができる。
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まず第一に、共形群あるいはその部分群の既約表現の下で変換する調和函数を考えることが出来る。この考え方より、球面調和函数の解やフーリエ級数のような変数分離に依って生ずるラプラス方程式の解を計画的に得ることが出来る。それらの解の線型重ね合わせを取ることで、適切な位相の下でのすべての調和函数の空間において稠密であるような調和函数の大きな族を導出することが出来る。
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