リー代数の表現
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従って、リー代数の表現を知ることで、群の表現の問題が解決される。分類に関しては、与えられたリー代数をもつ任意の連結リー群は普遍被覆をある離散的な中心的部分群で割ったものに同型であることを示すことができる。
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リー代数の表現の最も重要な応用のひとつは、実簡約リー群の表現論である。
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そのような表現は、対応する「無限小」リー代数の表現研究で使用する基本的なツールであることが良く知られている。物理学の文献では、リー群の表現とリー代数の表現との間の違いを強調しないこともある。最初に有限次元複素ベクトル空間上へ作用する表現を議論する。
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この極小イデアルは、自然に決定される単純リー代数である。リー代数の半単純性の概念は、リー代数の表現の完全可約性と密接に関連している。基礎体 F の標数が 0 のとき、半単純リー代数の任意の有限次元表現は半単純である。
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このアプローチは、驚くほど豊かで、表現論の多くの結果が、環上の加群についての結果の特別な場合と解釈することができる。ホップ代数は、一方で群やリー代数の表現論を特殊なケースとして保持する結合代数の表現論を改善する方法をもたらした。特に、2つの表現のテンソル積は、双対ベクトル空間の表現としての表現となっている。
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数学や理論物理学では、リー群の表現の考え方は、連続対称性の研究で重要な役割を果たす。そのような表現は、対応する「無限小」リー代数の表現研究で使用する基本的なツールであることが良く知られている。物理学の文献では、リー群の表現とリー代数の表現との間の違いを強調しないこともある。
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結合代数やリー代数の表現の同変写像も同様に定義される。
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は、リー代数の一般化であり、基礎となっているベクトル空間が Z 2 -次数付きで、歪対称性を持り、リーブラケットのヤコビ恒等式の符号が変形している。これらの表現は、リー代数の表現論に同じである。
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昇降演算子を用いて、固有状態を求めることは、交換関係で規定されるリー代数の既約表現を構成することに対応する。特に最高ウェイト状態を用いたリー代数の表現は、昇降演算子と密接に関連する。一方、位置座標によって、状態ベクトルを座標表示すれば、昇降演算子は同種の系列である特殊関数同士を結びつける。
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数学の一分野である表現論では、リー代数の表現は、リー代数を行列の集合として記述する方法である。この方法により、リーブラケットは交換子により与えられる。
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一つは群の表現によるものである。この視点では、先験的に直交群のリー代数の表現に普通のテンソル構成で得られない存在することが分っているものとする。これらの失われた表現は「スピン表現」、その構成要素はスピノルと呼ばれる。
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ところで、リー代数の表現に対し、単純に次数をを同じべきの因子へ写し、なくすることができる。リー代数はリー代数であり、それ自身の随伴表現を持っているので、随伴表現は代数の上の表現である。
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リー代数の表現の研究で、リー代数に付随する普遍包絡代数と呼ばれる特別な環は、決定的役割を果たす。この環の構成の普遍性は、リー代数の表現の圏が、この普遍包絡代数上の加群の圏と同じであることを言っている。
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線型代数群の表現とリー群の表現は、これらの無限次元の群の例を拡張し、後者はリー代数の表現と密接に関連する。有限群の指標理論の重要性は、リー群やリー代数の表現にとってはウェイトが類似する理論となる。
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重要な例は、有限体上の線型代数群である。線型代数群の表現とリー群の表現は、これらの無限次元の群の例を拡張し、後者はリー代数の表現と密接に関連する。有限群の指標理論の重要性は、リー群やリー代数の表現にとってはウェイトが類似する理論となる。
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リー代数の表現は自然に発生する。
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以上のステートメントの部分的な逆は、すべての有限次元リー代数の表現は、一意に随伴単連結なリー群の表現へ持ち上げることができることを意味している。従って、単連結なリー群の表現と、それらのリー代数の表現とは 1 対 1 に対応する。
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